我們在執行信效度的分析中，經常會使用探索性因素分析(Exploratory factor analysis, EFA)進行效度的探討，在使用EFA從多個題目萃取出精簡因子的時候，研究者會參考「特徵值(eigenvalue)」這個參數，本文主要透過簡單的數學推演來了解「特徵值」跟「特徵向量(eigenvector)」的實務意涵。

在線性代數中，特徵值 (Eigenvalue) 與特徵向量 (Eigenvector) 是線性變換核心概念，當一個矩陣作用於某個向量時，如果該向量的方向保持不變，僅發生「長度縮放」，那麼這個向量就是特徵向量，而縮放的「倍率」就是特徵值。

一、數學公式

有關特徵值的矩陣公式我們可以參考如下，特別注意v要是非零向量，因為零向量與任何常數都成立，沒有實際推估的意義。

  

要找出特徵值，我們要先做一些簡單的代數變換，首先我們先進行移項的動作：

1.1、移項(將右項移到左項)

1.2、帶入單位矩陣I

為了提取公因式矩陣v，我們帶入單位矩陣I進行轉換，如下。

1.3、判定非奇異性

這是一個齊次線性方程組(Homogeneous Linear Equations)，根據定義，我們要求v向量有非零解，則係數矩陣(A-λI)必須是不可逆的(奇異矩陣)，此時其行列式必須為0，便是我們熟知的特徵方程式，可寫為：

det(A-λI)=0

接著求解便可得到特徵值與特徵向量。

二、實務推演(數據為模擬數據，實際分析數據結果不完全一致)

我們接著用一筆模擬的數據來進行推演，可以更進一步的了解兩者之間的關係。下表為10個受試者，有5個題目要進行因素萃取。

表1 模擬資料

2.1、計算題目的相關係數

接著我們算出這5題的相關係數，大致參考如下。

2.2、建立特徵方程式

根據上述分析，我們目前的相關矩陣R如下：

要解出特徵值λ，我們必須令其特徵行列式為零，亦即det(R-λI)=0。將R-λI展開，我們會得到一個對角線減去λ的矩陣：

接著我們就要進行求解了。

2.3、冪次法 (Power Method)

因為傳統的五階求解非常麻煩，因此一般軟體運算會採用特徵值疊代(iteration)的方式去進行計算，其步驟如下。

2.3.1 設定初始特徵向量V0

假設一個初始權重向量V0（假設每個題目權重一樣）

2.3.2 將原始資料相關矩陣R乘上V0

將相關矩陣R乘以V0，這相當於把矩陣每一列的元素加總。

2.3.3 正規化並提取特徵值

我們從V0結果向量中提取最大值的絕對值作為估計特徵值，在此範例中是2.26，將剛剛的向量除以2.26進行正規化，可得V1如下。

2.3.4 重複疊代R乘上Vn的過程

由於每次疊代都會產出一個新的估計特徵值，系統會重複進行疊代的動作，直到特徵值趨於穩定(例如兩次估計特徵值差異小於0.0001)，如此便算是完成第一個因子特徵值λ1的疊代，以本例而言第1因子的特徵值是4.7。

2.3.5 將已估出的因子影響力從矩陣中排出

當第一個因子特徵值被求出之後，我們便可以計算剩餘的相關矩陣Rnew

Rnew去跟新設定的V0進行相乘，並疊代出第2個特徵值(依本例而言是0.147)，後續依此類推。

三、特徵值及特徵向量實際意涵

根據上述的推導，我們可以理解「相關矩陣本質上是各題之間的關係，透過求得其特徵向量(例如v1)，我們可以找到矩陣數據結構中不隨相乘而偏轉方向的穩定向量，也就是我們說的因素(v1我們實務上就稱為因素1)」，而對應的特徵值則代表了該方向捕捉到的變異量強度（縮放比例），讓我們能判斷該因素的重要性。

在SPSS軟體中，我們可以透過分析->維度縮減進行探索性因素分析，就可以求得因素分析的結果。

以上為特徵值與特徵向量的說明，若有統計相關需求再請與我們聯繫，也請給我們一個google好評，謝謝~