本次變異數分析探討的是重複測量(repeated measure)的情形,當受試者重複測量的時候,應採用相依樣本的變異數分析方式,其說明如下。

一、使用狀況

比較多組(兩組以上)相依樣本平均數是否相等。

變異數分析是用來檢定多組樣本平均數是否相等,並非在檢定變異數。

單因子變異數分析(One-way ANOVA):只有一個自變項的變異數分析。

重複量測(Repeated Measurement):同一組受試者測量兩次以上,例如:比較某班同學期初、期中、期末共三次測驗之測驗分數是否有不同。

二、前提假設

1. 依變數(Dependent variable):
(1).必須是連續變數(continuous variable)
(2).必須為隨機樣本(Random variable)→從母群體(Population)中隨機抽樣得到

2. 依變數的母群體:必須是常態分佈(Normal Distribution)

3. 相依事件(Dependent event):樣本須為相依(Dependent)→每組樣本之間不獨立,即選擇一案例為樣本時,會影響另一樣本是否被納入。
例如:分析一群高血壓患者,平均服藥前、服藥後5分鐘、服藥後30分鐘以及服藥後1小時之血壓值是否有差異,需同時納入4次量測值,故為相依事件。

4. 變異數(Variance):兩組樣本的變異數必須相等(同質)

*【小常識】

重複測量變異數分析→當樣本是相依事件時

多因子變異數分析→當樣本有多個自變項時

三、公式與假說檢定(Hypothesis Testing)


(一)數學公式:SST=SSB+ SSs+SSw

 

(二)假說檢定

H0: 所有組別平均數皆無顯著差異

H1:至少有兩組平均數有顯著差異

四、SPSS 操作範例

One-way ANOVA:比較組間(相對於組內)是否有顯著差異

【例題】比較某班同學期初、期中、期末共三次測驗之測驗分數是否有不同。
本題的例子為多組比較且重複量測,故選擇One-Way Repeated Measurement ANOVA檢測多組樣本的平均值是否不同
虛無假說(Null hypothesis)→多次測量之間平均數相等

對立假說(alternative hypothesis)→ 至少有兩次測量平均數之間有顯著差異

統計值(Statistics)→ , F值愈大→組間(相對於組內)差異愈大

(一)在SPSS中輸入欲分析之資料。

First是第一次考試,Midterm是期中考,Final是期末考。

(二) One Way Repeated Measurement ANOVA:分析→一般線性模式→重複量數

(三) 受試者內變數:期初(First)、期中(Midterm)、期末(Final) 三次考試成績
圖形:可選取依據因子繪出變化趨勢

選項:可選擇想要再結果顯示的統計資訊

(四) 檢定結果:

1.基本描述性統計:

分別有30位同學包含在本次分析中,總共各有三次的考試成績。
期初的成績(First)平均為72.47,標準差為16.083
期中的成績(Midterm)平均為75.90,標準差為14.252
期末的成績(Final)平均為80.00,標準差為12.418

2.Mauchly 球形檢定(Mauchly Spherical Test):
這是在檢定是否適合做RM-ANOVA,虛無假設是球形。檢定後的結果,顯著性p值=0.156>0.05,這些資料並符合球形,之後就可以直接看符合球形的結果。

3.受試者內效應項的檢定:

若符合球形,則直接看假設為球形的結果,本例中F(2,28)=7.524,顯著性p值=0.001<0.05。

若是不符合,須選擇其他模式,差別只在自由度的調整。

組內的分析拒絕虛無假說H0,故可以推論

→此班同學期初、期中、期末共三次測驗之測驗分數有顯著不同。

4.成對比較:

類似Post hoc的效果,能兩兩間比較測驗分數是否有顯著差異。

由結果可以發現顯著性主要出現在期初與期末間以及期中與期末之間。

5.估計平均數:

結論:比較三次成績的平均值,可以發現此班的同學從期初到期末的成績是有在進步的。

SPSS範例檔可從以下連結抓取,僅供同學練習使用:

https://drive.google.com/file/d/0B8eyCgO9lPB0YVhWamRWYkNLUms/view?usp=sharing

五、R code 操作範例Example

## Anova 語法操作概念

aov(response ~ factor+Error(Subject/factor), data=data_name)

【例題】分析一群高血壓患者,平均服藥前、服藥後5分鐘、服藥後30分鐘以及服藥後1小時之血壓值是否有差異。

本題的例子為多組重複量測,故選擇One-Way Repeated measurement ANOVA檢測多組樣本的平均值是否不同

虛無假說(Null hypothesis)→服藥前後血壓值沒有顯著差異

對立假說(alternative hypothesis)→服藥前後血壓值有顯著差異

(一)輸入高血壓患者各時間點量測之血壓資料

hypertension=data.frame(

c(182,193,165,138,171,164,152,133,128,142,156,174,169,155,146),

c(181,184,165,139,168,154,162,142,132,141,161,172,165,148,132),

c(165,148,131,127,149,152,161,136,124,131,128,162,144,134,128),

c(142,151,127,111,132,124,126,141,101,121,119,126,124,133,130))

with(BloodPressure,tapply(BP,Time,sum))
   1hr 30mins  5mins    Pre
  1908   2120   2346   2368
→由描述性統計可知,總體來說服藥1小時的血壓值< 服藥30分鐘後的血壓< 服藥5分鐘後的血壓< 服藥前血壓

(二)使用One-Way Repeated Measurement ANOVA檢驗


aov.out=aov(BP~Time+Error(Subject/Time),data=BloodPressure)
summary(aov.out)
          Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)
Time       3   9358  3119.2   39.38 2.83e-12 ***
Residuals 42   3326    79.2

→結果顯示F檢定值=39.38,顯著性p值=2.83e-12<0.05

→此群高血壓患者服藥前、服藥後5分鐘、服藥後30分鐘以及服藥後1小時之血壓值有差異

(三)事後檢定(Post hoc):使用paired t test 配合 Bonferroni法校正多重比較問題用以檢定哪幾組間的差異有達到顯著

with(BloodPressure,pairwise.t.test(x=BP,g=Time,p.adjust.method=”bonf”,paired=T))

Pair t 整理如下表

→結果顯示:除了服藥前與服藥後5分鐘這組之外,其餘兩兩組間的血壓值皆有達到顯著差異。