在進行單變異數分析時，變項平方和的概念是：「加入這個變項(x)後，y減少多少殘差變異」。平方和的計算方式有Type I、Type II、Type III三種選擇，下面就跟大家介紹Type III平方和的概念、代號定義、公式、特性以及適用場景。

三、Type III平方和

概念：

  • 每個變項的平方和，是控制其他變項(包含交互作用)後，該變項能解釋的變異。

代號定義(假設模型中只有A和B兩個變數)：

  • SSType III(A)：控制了變數B及交互作用AxB之後，變數A額外能減少的殘差平方和。
  • SSType III(B)：控制了變數A及交互作用AxB之後，變數B額外能減少的殘差平方和。
  • SSType III(AxB)：控制了變數A及 B之後，變數AxB額外能減少的殘差平方和。
  • SSResidual：在包含所有自變數的模型中，觀測值與模型預測值之間差異的平方和，代表模型無法解釋的隨機誤差。
  • RSS(A+AxB)：模型包含變數A和交互作用AxB時的殘差平方和。
  • RSS(B+AxB)：模型包含變數B和交互作用AxB時的殘差平方和。
  • RSS(A+B)：模型同時包含變數A和B時的殘差平方和。
  • RSS(A+B+AxB)：模型同時包含A、B、AxB之後，全模型的殘差平方和。

公式(模型包含A、B、AxB)：

  • SSType III(A) = RSS(full model without A) – RSS(full model)
  • SSType III(B) = RSS(full model without B) – RSS(full model)
  • SSType III(AxB) = RSS(full model without AxB) – RSS(full model)

由於RSS(full model without A)、RSS(ull model without B)以及RSS(full model without AxB)都是固定數值，所以Type III平方和不受變項放入順序影響。

特性：

  • 考慮了所有變項(包含交互作用)。

適用情境：

  • 實驗設計中最常見的模型，探討的重點在交互作用項。
  • 探討控制了其他變項(包含交互作用)後，每個變項的解釋變異。

範例(兩個變數 A和B，五筆資料)：

【計算過程】

  1. SSType III(A) = RSS(B+AxB) – RSS(A+B+AxB) = 0.00826 – 0.001961 = 0.006299
  2. SSType III(B) = RSS(A+AxB) – RSS(A+B+AxB) = 6.755844 – 0.001961 = 6.753883
  3. SSType III(AxB) = RSS(A+B) – RSS(A+B+AxB) = 0.2675 – 0.001961 = 0.265539
  4. SSResidual = RSS(A+B+AxB) = 0.001961

【RSS(A+B)計算過程】

1.當放入變數A和變數B時，迴歸模型為：

  • Y：應變數（依變項）。
  • β0：截距項（當A、B皆為0時，Y的期望值）。
  • β1：變數A的偏迴歸係數（代表在控制B不變的情況下，A每變動一單位，Y的平均變動量）。
  • β2：變數B的偏迴歸係數。
  • ε：隨機誤差項（RandomError）。

2.利用最小平方法 (Ordinary Least Squares, OLS)尋找一組係數β0-2，使得殘差平方和達到最小。

尋找這組迴歸係數時，可透過正規方程式(Normal Equations)來求解。

根據最小平方法（OLS）的矩陣公式：

故可得：β0 = 1.93，β1 = -0.2，β2 = 1.67，

迴歸公式為：

3.計算RSS(A+B)：

=> RSS(A+AxB)、RSS(B+AxB)、RSS(A+B+AxB)可透過同樣方式計算得出。

以上就是Type III平方和的介紹及範例，希望能幫助大家更瞭解Type III平方和的概念及適用場合，也請給我們一個google好評，謝謝。