T檢定主要用於檢定某一樣本統計量是否與總體參數相等，在實際應用中，最常見的有三種方法：獨立樣本t檢定、成對樣本t檢定和單一樣本t檢定。本篇文章主要介紹成對樣本t檢定- R語言的操作，細節如下所述。

＃補充：如何選定檢定統計量

拿到資料時得先判斷裡頭是否有母體資料，以及可以取得的樣本數大小。
接著再判斷使用哪種檢定統計量：

Z檢定：

  1. 在母體的標準差已知，樣本數低於30以下。
  2. 在母體的標準差已知，樣本數超過30以上。
  3. 在母體的標準差未知，樣本數超過30以上。

t檢定：

  1. 在母體的標準差未知，樣本數低於30以下。

一、適用條件

使用成對樣本t檢定需要滿足六個條件：

條件1：變數為連續變數。

條件2：變數為相依性（資料之間彼此相關）。

條件3：變數可分為兩組。

條件4：變數沒有離群值。

#補充：Outlier（異常值或離群值）：超過最小值（Q3+1.5 IQR）或最大值（Q1-1.5 IQR）的數值。

條件5：兩組變數的差值為常態分配或輕微的偏態（圖一）。

條件6：兩組變數之間存在相關性。

圖1 常態分配、偏態分配（正偏態、負偏態）

二、成對樣本t檢定

(1) 計算公式

成對樣本t檢定（Paired-Sample t Test）是適用於相依樣本，最常用在相依樣本下的重複量測設計，也就是同一個樣本，前後量測二次，例如：一群數學資優班學生，在入學前與入學一年後智力測驗分數是否有差異。其檢定的統計量為：

公式來源 : 蕭文龍(2016)，《統計分析入門與應用：SPSS中文版＋SmartPLS 3 (PLS_SEM)》，台北：碁峯資訊

(2) 假設檢定

虛無假設（Null hypothesis）→ H0：u1=u2 無顯著差異

對立假設（alternative hypothesis）→ H1：u1≠u2 有顯著差異

 

三、R語言操作範例

(一) 範例介紹

一群數學資優班學生，在入學前與入學一年後智力測驗分數是否有差異？

研究假設如下：

虛無假設→ H0：uD =0 即入學前/後對智力測驗分數的結果無影響；

對立假設→ H1：uD >0 即入學前/後對智力測驗分數的結果有影響。

α = 0.05

(二) 資料匯入

pairdata<-read.csv(“score-3.csv”,header=T)

# read.csv ()：將資料匯入到指定的變數，也就是pairdata

View(pairdata)

# View()：瀏覽資料內容

=>根據執行結果：在資料集中共有3個變數和21個觀察資料，3個變數分別為資優生的編號(No)、入學前的分數(Before)、入學一年後的分數(After)。

(三) 適用條件判定

1. 本範例的智力測驗分數為連續變數，滿足適用條件1「變數為連續變數」。

2. 本範例的智力測驗分數均是對同一批資優生測試來的，因此變數互為相依性，滿足適用條件2「變數為相依性」。

3. 本範例分為入學前和入學一年後兩組，滿足適用條件3「變數可分為2組」。

4. 離群值檢測

這裡的檢測方式採用箱型圖，來判別資料內是否存在離群值。

#補充：箱型圖（Box plot）

主要是用來顯示數據分佈情況。其組成要素為最小值、第一四分位數、中位數、第三四分位數以及最大值。

箱型圖能夠顯示出離群值（outlier），離群值也叫做異常值，通過箱型圖能夠很容易識別出資料中的異常值。

圖2 箱型圖

(1) 查看最大值和最小值

summary(pairdata$Before)  #Before的描述型統計資訊

summary(pairdata$After)  #After的描述型統計資訊

=>根據執行結果：從描述型統計資訊（Min(最小值)、1st Qu(第一四分位數)、Median(中位數)、Mean(平均值)、3rd Qu(第三四分位數)和Max(最大值)）中得知，可判斷智力測驗分數均可能在53到100之間。

(2) 查看遺漏值情況

is.na(pairdata$Before)  #檢查Before是否有遺漏值

is.na(pairdata$After)  #檢查After是否有遺漏值

=>根據執行結果：都沒有遺漏值。

(3) 分組繪製箱型圖

par(mfrow = c(1, 2))  #設置畫1行2個圖片

boxplot(pairdata$Before, xlab = “Before”, ylab = “Score”)  #繪製Before的箱型圖

boxplot(pairdata$After, xlab = “After”, ylab = “Score”)  #繪製After的箱型圖

圖3 Before和After的箱型圖

=>根據執行結果：箱型圖內無顯示任何離群值，即滿足適用條件4「變數沒有離群值」。

5. 常態性檢定

這裡的檢測方式採用分位圖（Q-Q圖）和Shapiro-Wilk檢定來做是否為常態分配。

＃補充：分位圖（Q-Q圖）

是一種視覺化比較兩項數據的分佈是否相同的方法。

另外，Q-Q Plot不是只有判斷「是否為直線」或者「是否為常態分配」，即使畫出來的不是直線，還是能看出資料分配的特性。

從圖1 中可以看到Q-Q Plot在左偏與右偏分配會呈現的樣子：

圖4 不同數值分配下的不同 Q-Q Plot（Source: Manny Gimond）

(1) 分組繪製Q-Q圖：

d <- pairdata$Before – pairdata$After  #計算兩組間差值

qqnorm(d)  #繪製Q-Q圖

qqline(d)  #增加趨勢線

圖5 分組的Q-Q圖

=>根據執行結果：資料點基本上都圍繞對角線分佈，表示資料呈常態分配。

＃補充：使用S-W檢定的原因

要進行常態性檢定有兩種方法K-S檢定或S-W檢定，因樣本數的關係而選擇使用S-W檢定。

Kolmogorov-Smirnov（K-S）檢定：樣本數50個以上。

Shapiro-Wilk（S-W）檢定：樣本數50個以下。

(2) 分組做常態性檢定：

shapiro.test(d)   # Shapiro-Wilk常態性檢定

=>根據執行結果：常態性檢定的P值為0.4278 > 0.1，表示資料呈常態分配。

結合(1)(2)的結果，表示資料滿足適用條件5「變數的差值為常態分配」。

(四) 統計描述及推斷

  1. 描述性分析

install.packages(“psych”)  #安裝套件：psych

library(psych)  #載入套件：psych

describe(pairdata$Before)  #描述Before的集中和離散趨勢

describe(pairdata$After)  #描述After的集中和離散趨勢

=>根據執行結果：顯示各組變數的統計量，包括：vars(第幾個變數)、n (樣本量)、mean (平均數)、sd (標準差)、median (中位數)、trimmed(截尾均值)、絕對中位差(mad)、min(最小值)、max(最大值)、range(值域)、skew(偏度)、kurtosis(峰度)和se(標準誤差平均數)。

可知入學前的分數為77.38±12.46，入學一年後的分數為76.14±11.07。

  1. 成對樣本Ｔ檢定

t.test(pairdata$Before, pairdata$After, paired = TRUE)

# pairdata$Before, pairdata$After代表資料組x, y

# alternative設定對立假設，可以為two.sided, less, greater三個種類，因預設為alternative=two.sided，在此省略。

# paired = 用來設定是否需要成對樣本t檢定

=>根據執行結果：t =0.72769、p-value =0.4752未達顯著水準 (P>0.01)，接受虛無假設。

可知數學資優班學生，在入學前與入學一年後智力測驗分數是無顯著的差異。

(五) 相關性檢定

這裡的檢定方式採用散佈圖及Pearson相關性檢定來判別資料之間，是否有相關聯性。

#補充：散佈圖（Scatter Plot）

是表示兩個變數之間關係的圖，又稱相關圖。

依下列(A)~(F)的判斷方式，檢視是否為不相關。

圖6 散佈圖的判斷方式

  1. 繪製散佈圖

plot(pairdata$Before, pairdata$After, xlab = “Before”, ylab = “After”)  #繪製散佈圖

abline(lm(pairdata$After ~ pairdata$Before))

# abline()：給圖形增加趨勢線

# lm(應變數（通常用Y來表示）~自變數（通常用X來表示）, 資料來源)：建構線性回歸模型

圖7 Before與After的散佈圖

=>根據執行結果：兩組之間呈線性關係（正相關）。

#補充：使用Pearson做相關性原因

處理相關性有三種檢定方式：Pearson相關性分析、Spearman等級相關性分析、Kendall’s Tau-b等級相關性分析。

以目前的條件：變數為連續變數、線性關係、無離群值、常態分配 è符合Pearson相關性分析的4個適用條件。

#補充：皮爾森相關分析的相關說明可參考：

https://www.yongxi-stat.com/pearson-correlation/

https://www.yongxi-stat.com/pearson-correlation-analysis-r/

  1. Pearson相關性檢定

cor.test(pairdata$Before, pairdata$After, method=”pearson”)  #相關性檢定

=>根據執行結果：兩組Pearson相關係數r=0.7867382 (95%CI：0.54-0.91)，P<0.001，表示兩組資料之間存在相關性（高度相關）。

也就是說，入學前和入學一年後之間的分數差異變化有一致性，此結果滿足適用條件6「兩組變數之間存在相關性」。

  1. 結合1.和2.的結果，繪製相關性檢定結果的散佈圖

install.packages(“ggplot2”)  #安裝套件：ggplot2

library(ggplot2)  #載入套件：ggplot2

install.packages(“ggpubr”)  #安裝套件：ggpubr

library(ggpubr)  #載入套件：ggpubr

ggplot(data = pairdata, aes(x=pairdata$Before,y=pairdata$After)) +

geom_point(color=”red”) +

stat_smooth(method=”lm”,se=TRUE) +

stat_cor(data=pairdata, method = “pearson”)  #繪製相關性檢定結果的散佈圖

圖8 相關性檢定結果的散佈圖

=>根據執行結果：在圖中標記相關性檢定結果的散佈圖，顯示更為直觀，可以選擇性使用。

# 補充：相關性檢定是為了驗證配對資料的一致性，其可能的四種情況：

  1. 相關性檢定與成對樣本t檢定的P值均<0.05

表示資料在兩組間具備一致性，且有顯著的差異，而且差異的產生就是研究因素作用的結果。

  1. 相關性檢定的P值>0.05，成對樣本t檢定的P值<0.05

表示資料在兩組間存在差異，但平均數差異變化不一致，平均數差異可能還受其他因素的影響。

  1. 相關性檢定的P值<0.05，成對樣本t檢定的P值>0.05

表示資料在兩組間變化有一致性，但平均數差異不顯著，即研究因素未發揮作用。

  1. 相關性檢定與成對樣本t檢定的P值均>0.05

表示資料在兩組間不具備一致性，且無顯著的差異。

=>本範例為第3種情況。

四、結論

本研究採用成對樣本t檢定判斷在入學前與入學一年後智力測驗分數是否有差異。

透過箱型圖顯示兩組資料無離群值、Q-Q圖和Shapiro-Wilk檢定顯示兩組資料的差值呈現常態分配。

根據執行結果顯示，入學前與入學一年後在智力測驗分數分別為77.38±12.46和76.14±11.07，入學前平均值比入學一年後高1.24 (95%CI：-2.311~4.787)，無顯著的差異(t=0.728，P>0.01)。兩組Pearson相關係數r=0.787，P<0.001；表示入學前和入學一年後之間的分數差異變化有一致性。因此，在入學前所做的智力測驗分數通常會比入學一年後的分數差不多。