之前的文章曾經提及，我們在分析多元迴歸時，會需要符合變異數同質性(homogeneity of variance)的基本假設，若變異數同質性有違反，則會進行加權最小平方法(WLS)或其他矯正的動作。

而在進行變異數同質性的檢測時，我們經常使用Breusch-Pagan test及White test兩種方式，本文主要進行Breusch-Pagan test的說明，以及SPSS分析操作。此外，本文內容公式部分取自Wooldridge, J. M. (2015)的專書，建議有興趣的同學可以搜尋電子書查看。

一、Breusch-Pagan test計算公式

假定我們有k個自變數x，一個依變數y，組合成一個多元迴歸方程式。在進行Breusch-Pagan test前，我們需要先算出x對y的多元迴歸方程式的殘差û，用以當作Breusch-Pagan test的依變數。

在Breusch-Pagan test的方程式中，我們根據下圖可以看到依變數為殘差平方û²，自變數為x1…xk，其虛無假設(H0)為所有的自變數對殘差平方的迴歸係數皆為0。

接著我們根據Breusch-Pagan test的方程式算出，表示自變數對殘差平方的影響力，並以、n(樣本數)、k(自變數數目)進行F檢定的計算，並計算其顯著性(p)即可知道是否有變異數同質性違反的情況。

此外，我們也可以透過LM test進行檢定，因為且符合卡方分配，故以LM test也可以探討是否有變異數同質性違反的情形發生。

二、SPSS操作

本次範例資料依變數為colGPA(大學成績)，自變數為hsGPA(高中成績)、ACT(成就分數)、skipped(每周翹課堂數)、PC(有無在學校使用電腦)。

(一)分析路徑

首先我們先進行多元迴歸分析，分析->迴歸->線性。

(二)選擇變數

我們將colGPA放入應變數，其餘變數放入自變數，並點選「儲存」，將殘差未標準化勾選起來，便可以按確定進行分析。

接著我們可以看到資料欄多了一欄RES_1，這欄資料就是殘差，接著我們將殘差進行平方，得到RES_1_square，便是上述公式的û²。

接著我們再跑一次迴歸分析，將依變數設為RES_1_square，其餘變數放入自變數，如下圖。

(三)分析結果

由分析結果可知，F值為3.127，顯著性為0.017達顯著，表示違反變異數同質性的假設，需要進行後續加權最小平方法(WLS)或Robust standard error的校正。

(四)補充分析方法

目前較新版本的SPSS(例如：SPSS 29)已經有內建Breusch-Pagan test的功能了，操作步驟如下，分析->一般線性模式->單變異數，參考如下圖。

進入之後將colGPA放入應變數，其餘自變數放入共變量中。在單變異數這個系統中，共變量這個欄位是用於將連續變數放入多元迴歸模型中使用的，由於我們這次的範例都是連續變數，因此將連續變數放入共變量這個操作，實際上就跟我們分析多元迴歸的概念一樣。

接著我們點選項，勾選Breusch-Pagan test，按下確定。

由結果可知，Breusch-Pagan test的卡方值為5.271，顯著性為0.022，表示模型違反變異數同質性的假設，需進行WLS的矯正，這個結論與上述用F檢定分析的結果一致。

以上便是SPSS操作Breusch-Pagan test的完整解說，若您覺得有幫助的話，再請幫我們留個好評，謝謝您的觀看，我們下次見。

Reference

Wooldridge, J. M. (2015). Introductory econometrics: A modern approach. Cengage learning.