我們在過去執行多元迴歸時，會需要符合變異數同質性(homogeneity of variance)的基本假設，若變異數同質性有違反，則會進行加權最小平方法(WLS)的動作。
而在進行變異數同質性的檢測時，我們經常使用Breusch-Pagan test及White test兩種方式，本文主要進行White test的說明，並說明其與Breusch-Pagan test不同的地方，以及SPSS的操作過程。此外，本文內容公式部分取自Wooldridge, J. M. (2015)的專書，建議有興趣的同學可以搜尋電子書查看。
一、White test計算公式
假定我們有k個自變數x，一個依變數y，組合成一個多元迴歸方程式。在進行White test 前，我們需要先計算出x1至xk之間的平方項及交乘項，接著再對y進行多元迴歸方程式求得殘差û，用以當作White test方程式的依變數。
在White test 的方程式中，我們根據下圖可以看到依變數為殘差平方û，自變數為
等項目。其虛無假設(H0)為所有的自變數對殘差平方的迴歸係數皆為0。
接著我們根據White test 的方程式算出
，並透過LM test進行檢定，因為
且符合卡方分配，故以LM test也可以探討是否有變異數同質性違反的情形發生。
White test的優點是有考慮更多的自變數型態進來，缺點則是增加了較多的分析項目，會使得模型較為複雜。
由於SPSS軟體並沒有可以直接進行White test分析的語法，為了精簡上述模型，我們建議將上述公式改寫乘以下公式。下述公式中我們可以發現，ŷ包含了自變數的一次項，例如：x1、x2…；ŷ2則包含了自變數的平方項及所有交乘項，為了縮減計算上的困難，我們透過這個方式將方程式進行縮減。
二、SPSS操作
本次範例資料依變數為colGPA(大學成績)，自變數為hsGPA(高中成績)、ACT(成就分數)、skipped(每周翹課堂數)、PC(有無在學校使用電腦)。
本次分析包含三個步驟，第一步要先計算出ŷ及ŷ2，第二步再計算出殘差û及其平方û2，第三步透過ŷ及ŷ2去預測殘差平方û2，看其F值是否顯著判斷是違反變異數同質性假設。
(一)分析路徑
首先我們先透過迴歸分析計算ŷ跟殘差û，分析->迴歸->線性
(二)選取變數
我們將colGPA放入應變數，其餘變數放入自變數，並點選「儲存」，將「預測值未標準化」、「殘差未標準化」勾選起來，便可以按確定進行分析。
分析完後SPSS檔案會跑出PRE_1跟RES_1兩個變數，PRE_1便是ŷ，RES_1則是û。我們接著透過計算變數將兩者進行平方，便會得到ŷ2(yhat_square)及û2(res_square)兩個變數，如下圖所示。
我們接著把殘差平方當作應變數，ŷ及ŷ2放入多元迴歸模型中，點選確定。
(三)分析結果
由上述的分析結果可知，其F值為3.581達顯著，表示違反變異數同質性的假設，需要進行加權最小平方法或其他校正。
(四)補充分析方法
目前較新版本的SPSS(例如：SPSS 29)已經有內建White test的功能了，操作步驟如下，分析->一般線性模式->單變異數，參考如下圖。
進入之後將colGPA放入應變數，其餘自變數放入共變量中。在單變異數這個系統中，共變量這個欄位是用於將連續變數放入多元迴歸模型中使用的，由於我們這次的範例都是連續變數，因此將連續變數放入共變量這個操作，實際上就跟我們分析多元迴歸的概念一樣。
接著我們點選項，勾選懷特檢定(White test)，按下確定。
由結果可知，White test的卡方值為22.785，顯著性為0.044，表示模型違反變異數同質性的假設，需進行WLS的矯正，這個結論與上述用F檢定分析的結果一致。
以上便是SPSS操作White test的完整解說，若您覺得有幫助的話，再請幫我們留個好評，謝謝您的觀看，我們下次見。
Reference
Wooldridge, J. M. (2015). Introductory econometrics: A modern approach. Cengage learning.
