我們在過去執行多元迴歸時,會需要符合變異數同質性(homogeneity of variance)的基本假設,若變異數同質性有違反,則會進行加權最小平方法(WLS)的動作。

而在進行變異數同質性的檢測時,我們經常使用Breusch-Pagan test及White test兩種方式,本文主要進行White test的說明,並說明其與Breusch-Pagan test不同的地方,以及SPSS的操作過程。此外,本文內容公式部分取自Wooldridge, J. M. (2015)的專書,建議有興趣的同學可以搜尋電子書查看。

一、White test計算公式

假定我們有k個自變數x,一個依變數y,組合成一個多元迴歸方程式。在進行White test 前,我們需要先計算出x1至xk之間的平方項及交乘項,接著再對y進行多元迴歸方程式求得殘差û,用以當作White test方程式的依變數。

在White test 的方程式中,我們根據下圖可以看到依變數為殘差平方û,自變數為等項目。其虛無假設(H0)為所有的自變數對殘差平方的迴歸係數皆為0。

接著我們根據White test 的方程式算出,並透過LM test進行檢定,因為 且符合卡方分配,故以LM test也可以探討是否有變異數同質性違反的情形發生。

White test的優點是有考慮更多的自變數型態進來,缺點則是增加了較多的分析項目,會使得模型較為複雜。

由於SPSS軟體並沒有可以直接進行White test分析的語法,為了精簡上述模型,我們建議將上述公式改寫乘以下公式。下述公式中我們可以發現,ŷ包含了自變數的一次項,例如:x1x2…;ŷ2則包含了自變數的平方項及所有交乘項,為了縮減計算上的困難,我們透過這個方式將方程式進行縮減。

二、SPSS操作

本次範例資料依變數為colGPA(大學成績),自變數為hsGPA(高中成績)、ACT(成就分數)、skipped(每周翹課堂數)、PC(有無在學校使用電腦)。

本次分析包含三個步驟,第一步要先計算出ŷ及ŷ2,第二步再計算出殘差û及其平方û2,第三步透過ŷ及ŷ2去預測殘差平方û2,看其F值是否顯著判斷是違反變異數同質性假設。

(一)分析路徑

首先我們先透過迴歸分析計算ŷ跟殘差û,分析->迴歸->線性

(二)選取變數

我們將colGPA放入應變數,其餘變數放入自變數,並點選「儲存」,將「預測值未標準化」、「殘差未標準化」勾選起來,便可以按確定進行分析。

分析完後SPSS檔案會跑出PRE_1跟RES_1兩個變數,PRE_1便是ŷ,RES_1則是û。我們接著透過計算變數將兩者進行平方,便會得到ŷ2(yhat_square)及û2(res_square)兩個變數,如下圖所示。

我們接著把殘差平方當作應變數,ŷ及ŷ2放入多元迴歸模型中,點選確定。

(三)分析結果

由上述的分析結果可知,其F值為3.581達顯著,表示違反變異數同質性的假設,需要進行加權最小平方法或其他校正。

(四)補充分析方法

目前較新版本的SPSS(例如:SPSS 29)已經有內建White test的功能了,操作步驟如下,分析->一般線性模式->單變異數,參考如下圖。

進入之後將colGPA放入應變數,其餘自變數放入共變量中。在單變異數這個系統中,共變量這個欄位是用於將連續變數放入多元迴歸模型中使用的,由於我們這次的範例都是連續變數,因此將連續變數放入共變量這個操作,實際上就跟我們分析多元迴歸的概念一樣。

接著我們點選項,勾選懷特檢定(White test),按下確定。

由結果可知,White test的卡方值為22.785,顯著性為0.044,表示模型違反變異數同質性的假設,需進行WLS的矯正,這個結論與上述用F檢定分析的結果一致。

以上便是SPSS操作White test的完整解說,若您覺得有幫助的話,再請幫我們留個好評,謝謝您的觀看,我們下次見。

Reference

Wooldridge, J. M. (2015). Introductory econometrics: A modern approach. Cengage learning.